1.10 Integrales impropias (AILO)

 Los casos de integrales impropias son justamente donde uno o ambos límites de integración son infinitos o donde el integrando es discontínuo en un número finito de puntos del intervalo de integración.

1) 

Se toma un valor  para calcular  y luego se hace tender  a . Es decir

Si el límite existe la integral se dirá que es convergente de lo contrario es divergente.

Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada por la curva  la recta  y el eje 

Como la curva es siempre positiva

Area

Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar que la curva se vuelve asintótica al eje x ``rápidamente'' y que por lo tanto la porción que hay entre la curva y el eje x se vuelve muy pequeña y llega a ser despreciable.

1.9 Cálculo de integrales definidas (AILO)

1.           Se verifica el dominio de la función de la integral dentro del intervalo a evaluar. ( el teorema sólo se puede aplicar si la función es continua para todo el intervalo.)

2.           Se resuelve la integral de acuerdo a la función presente, puede ser cualquier método de integración. ( los límites de integración deben concordar con la variable a estudiar, es decir si se realiza un cambio de variable se deben cambiar los límites)

3.           Se debe evaluar la función resultante, sustituyendo los límites  superior menos inferior, como se puede ver en la figura es por la diferencia.

EJEMPLO

1.8 Teorema fundamental del cálculo (AILO)

 La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

F'(x) = f(x)

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

·         Se busca primero una función F (x) que verifique que F’(x) = f (x).

·         Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

·         El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

1.7 Función primitiva (AILO)

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original

ej:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral.

1.6 Propiedades de la integral definida (AILO)

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

·         Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

·         Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

·         La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

·         La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

·         Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

·         Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

·         Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

1.5 Teorema de existencia (AILO)

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x , y,...existe(n)...'.Esto, en términos más formales de lógica es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es continúa. Una controversia que data del temprano siglo XX concierne al tema de teoremas de existencia, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta. El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance, mayor que el del análisis numérico. Los teoremas de existencia y unicidad de solución tienen gran importancia en el estudio de los problemas matemáticos y del cálculo.

Muchas son difíciles de resolver y por ello es importante asegurarse de la existencia de solución antes de intentar resolverlas. Por otra parte el tema tiene interés para las aplicaciones: que representa un modelo matemático determinista de una situación física, y del cual esperamos exista solución. Además la solución debe ser única pues si se repite el experimento en las mismas condiciones, cabe esperar los mismos resultados.

1.4 Definición de integral definida (AILO)

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como: