1.10 Integrales impropias (AILO)

 Los casos de integrales impropias son justamente donde uno o ambos límites de integración son infinitos o donde el integrando es discontínuo en un número finito de puntos del intervalo de integración.

1) 

Se toma un valor  para calcular  y luego se hace tender  a . Es decir

Si el límite existe la integral se dirá que es convergente de lo contrario es divergente.

Ejemplo 1: Encontrar el área de la región limitada por la curva  la recta  y el eje 

Como la curva es siempre positiva

Area

Es decir que el área si se puede medir y vale 1. Uno podría pensar que la curva se vuelve asintótica al eje x ``rápidamente'' y que por lo tanto la porción que hay entre la curva y el eje x se vuelve muy pequeña y llega a ser despreciable.

1.9 Cálculo de integrales definidas (AILO)

1.           Se verifica el dominio de la función de la integral dentro del intervalo a evaluar. ( el teorema sólo se puede aplicar si la función es continua para todo el intervalo.)

2.           Se resuelve la integral de acuerdo a la función presente, puede ser cualquier método de integración. ( los límites de integración deben concordar con la variable a estudiar, es decir si se realiza un cambio de variable se deben cambiar los límites)

3.           Se debe evaluar la función resultante, sustituyendo los límites  superior menos inferior, como se puede ver en la figura es por la diferencia.

EJEMPLO

1.8 Teorema fundamental del cálculo (AILO)

 La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

F'(x) = f(x)

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

·         Se busca primero una función F (x) que verifique que F’(x) = f (x).

·         Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

·         El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

1.7 Función primitiva (AILO)

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original

ej:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral.

1.6 Propiedades de la integral definida (AILO)

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

·         Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

·         Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

·         La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

·         La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

·         Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

·         Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

·         Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

1.5 Teorema de existencia (AILO)

En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x , y,...existe(n)...'.Esto, en términos más formales de lógica es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es continúa. Una controversia que data del temprano siglo XX concierne al tema de teoremas de existencia, y la acusación relacionada de que al admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de aplicación concreta. El punto de vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran alcance, mayor que el del análisis numérico. Los teoremas de existencia y unicidad de solución tienen gran importancia en el estudio de los problemas matemáticos y del cálculo.

Muchas son difíciles de resolver y por ello es importante asegurarse de la existencia de solución antes de intentar resolverlas. Por otra parte el tema tiene interés para las aplicaciones: que representa un modelo matemático determinista de una situación física, y del cual esperamos exista solución. Además la solución debe ser única pues si se repite el experimento en las mismas condiciones, cabe esperar los mismos resultados.

1.4 Definición de integral definida (AILO)

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

1.3 Sumas de Riemann (AILO)

Las sumas de Riemann son un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Llevadas al límite se obtiene la integral de Riemann.

ea f(x) una función continua en [a, b]. Sea un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2,...xn} tales que a= x0<x1<x2...<xn = b.

consideramos la partición de este intervalo P=  {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n-1, x_n]}.

Entonces la suma de Riemann de f(x) es:

donde x_i-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo suele ser arbitraria.

·                     Si y_i = x_i-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. 

·                     Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

1.2 Notación sumatoria (AILO)

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ,  y se representa así:

Expresión que se lee: "sumatoria de Xi,  donde i toma los valores desde 1 hasta n".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Ahora, veamos un ejemplo: 

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

1.1 Medición aproximada de figuras amorfas (AILO)

Las figuras amorfas son todas aquellas figuras que no tienen forma, o al menos una forma conocida, como un triángulo, un cuadrado o un círculo.

            Son curvas o figuras de muchos lados distintos y deformes; su cálculo de área es por mera aproximación usando métodos matemáticos como el de Riemann o el cálculo integral.

            El método de Riemann es usar fórmulas matemáticas de áreas,  de figuras ya conocidas para la aproximación del área total de la figura amorfa.

            Cuando la figura amorfa exagera de curvas se usa el cálculo integral para encontrar sus respectivas áreas bajo las curvas de la figura.

            De igual manera, los dos métodos son usados en la medición aproximada de figuras amorfas; aproximadas porque al ser una figura abstracta, su área nunca es exacta, como la del cálculo de los círculos por el uso del infinito pi.

Ejemplo de aproximación de áreas bajo la curva

Evaluación diagnostica cálculo integral

                                                      

evaluación diagnóstica by Andrés León